Создание трохоидальной теории волнения

Стремление выразить наблюденные движения математически, а также теоретические исследования колебательных движений частиц какой-либо среды привели к созданию трохоидальной теории волнения. Прежде нежели дать о ней понятие, посмотрим, каким образом получается кривая, называемая трохоидой.

На чертеже (фиг. 85) круг А6 предполагается катящимся по прямой АЕ слева направо. Если закрепить карандаш в центре О катящегося круга, то при движении последнего карандаш на плоскости чертежа напишет прямую 006. Если же укрепить карандаш в конце радиуса Об, то карандаш при качении круга опишет кривую 64\В, называемую циклоидой. Подошва ее будет в точке 6, а вершина в точке В. Очевидно, при дальнейшем качении круга А6 направо карандаш опишет другую ветвь циклоиды.

Если же поместить карандаш где-нибудь в точке а на радиусе 06 = R между центром и окружностью, то он опишет кривую ac\g\, называемую трохоидой.

Построить циклоиду и трохоиду можно следующими способами.

Разделим катящуюся окружность на несколько равных частей (на черт. 85 на шесть) и на прямой АЕ отложим длину АВ, равную полуокружности катящегося круга (~R). Тогда при качении крута точки сто окружности /, 2, 3... будут последовательно совпадать с точками 1, 2, 3... прямой АВ. Чтобы найти точку, где окажется карандаш, установленный в точке б, когда точка 1 окружности совпадет с таковой же на прямой АВ, или, что то же самое, когда центр О передвинется на расстояние А1, проводят 1 через точку 5 катящейся окружности прямую, параллельную АВ, а из точки 1 той же линии опускают перпендикуляр, и от пересечения его с линией, проведенной параллельно АВ, откладывают вправо еще величину половины хорды 5–7 и получают искомую точку 5, принадлежащую циклоиде. Для получения следующей точки циклоиды проводят через точку 4 окружности прямую параллельно АВ, а из точки 2 той же прямой опускают к ней перпендикуляр; от места их пересечения вправо откладывают линию, равную половине хорды 4–8, и получают точку циклоиды 4. Поступая так же и далее, находят, сколько требуется точек циклоиды, соединив кои согласной кривой, получают искомую циклоиду.

Для построения трохоиды поступают подобным же образом. Положим, что карандаш будет помещен на радиусе R в точке а. Проводят радиусом Oa = r окружность adg, называемой производящей2, делят ее на несколько равных частей (на черт, на шесть); через точку b проводят прямую параллельно АВ, а из точки 1 той же АВ опускают перпендикуляр, от их пересечения точки В2 откладывают вправо линию bnbi, равную ЪЪ (т. е. половину хорды), и получают точку В1( принадлежащую трохоиде. Опустив из точки 2 линии АВ перпендикуляр до его пересечения (с2) с прямой, проведенной параллельно АВ через точку с производящей окружности, откладывают вправо от точки сч линию с2с, равную с с, и получают точку трохоиды с. Поступая так и далее, находят сколько угодно точек и через них проводят согласную кривую abiC2d figi, которая и будет искомая трохоида.

Построение трохоиды или циклоиды можно выполнить и иначе. Для нахождения, например, точки сi опускают из точки 2 прямой АВ перпендикуляр, в пересечении которого с прямой 006 в точке О2 будет находиться центр катящегося круга, когда точка его окружности 2 совпадет с одноименной точкой на линии АВ. Чтобы занять такое положение, катящийся круг должен повернуться на угол А02; очевидно, если провести радиус 04, то он составит с радиусом Об катящейся окружности такой же угол. Поэтому, если из точки О2 провести радиус производящей окружности параллельно радиусу 04, то в пересечении его с производящей окружностью и получится точка трохоиды с. Так же можно получить и остальные точки трохоиды или циклоиды.

При той же катящейся окружности, в зависимости от величины радиуса производящей окружности, и вид трохоиды будет получаться - различный. Очевидно, пределами для всех возможных трохоид будут: прямая 006 и циклоида 641В.3

~1~ ~2~ ~3~ ~4~ ~5~ ~6~ ~7~ ~8~ ~9~ ~10~ ~11~ ~12~ ~13~ ~14~ ~15~ ~16~ ~17~ ~18~ ~19~ ~20~ ~21~ ~22~ ~23~ ~24~ ~25~ ~26~ ~27~ ~28~ ~29~ ~30~ ~31~ ~32~ ~33~ ~34~ ~35~ ~36~ ~37~ ~38~ ~39~ ~40~ ~41~ ~42~ ~43~ ~44~ ~45~ ~46~ ~47~ ~48~ ~49~ ~50~ ~51~ ~52~ ~53~ ~54~ ~55~ ~56~ ~57~ ~58~ ~59~ ~60~ ~61~ ~62~ ~63~ ~64~ ~65~ ~66~ ~67~ ~68~ ~69~ ~70~ ~71~ ~72~ ~73~ ~74~ ~75~ ~76~ ~77~ ~78~ ~79~ ~80~ ~81~ ~82~ ~83~ ~84~ ~85~ ~86~ ~87~ ~88~