детерминистическая модель эпидемического процесса

Теперь рассмотрим модели МТЭ с непрерывным течением эпидемического процесса во времени (в настоящее время они образуют подавляющее большинство). Краеугольным камнем в этой области следует считать детерминистическую модель, предложенную в 1927 г. Кермаком и Мак-Кендриком.

Все современные модели образованы путем той или другой большей или меньшей модификации данной модели КМК (Кермака и Мак- Кендрика). А именно:

а) стохастические модели Бейли и Бартлетта представляют собой теоретико-вероятностный аналог модели КМК;

б) модели с территориальным распределением населения Бартлетта и Кендалла представляют собой обобщение на плоскость модели КМК;

в) модели для конкретных инфекций Дитца (малярия), Цвятановича (брюшной тиф, холера), Хаммонда и Тайрелла ((грипп) представляют собой модификацию модели КМК в зависимости от свойств инфекции и т. д.

Прежде чем описывать модель КМК, уместно подчеркнуть одну деталь по поводу моделей типа «а» (т. е. стохастических моделей типа Бейли). Это важно потому, что указанные модели популяризируются в литературе в настоящее время настолько, что лица, не вполне компетентные, нередко отождествляют их со всей МТЭ (хотя уже из приведенного перечня, который далеко не полон, видно, что МТЭ не сводится и не может сводиться только к стохастическим моделям). Именно в плане управления борьбой с эпидемией заметим, что стохастические модели, как модели Рида — Фроста, применимы лишь к малым процессам, так как природа моделей такова, что при возрастании числа лиц, включежных в эпидемический процесс, математические трудности становятся непреодолимыми, а вследствие этого, практический смысл подобных моделей утрачивается. Поэтому реальная ценность стохастических моделей может выявиться прежде всего тогда, когда они используются как средство наблюдения (что само по себе тоже важно), т. е. при обработке статистических эпидемиологических данных. Заключая, можно сказать, что стохастические модели эпидемий и их исследование, проведенное Бартлеттом, Бейли, Уиттлом и другими, представляют собой наивысшую ступень современной эпидемиологической статистики.

Вернемся к базисной модели КМК. Данная модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, но мы для наглядности запишем эту систему в разностном виде. Пусть в данном коллективе x обозначает численность восприимчивых, У — численность больных, z — численность лиц, не включенных в эпидемический процесс (иммунные, выздоровевшие, изолированные, умершие). Очевидно, что с течением времени величины x, y, z меняются; поэтому пронумеруем единой нумерацией все дни с начала эпидемии, а величинам x, y, z припишем индекс — номер дня, о котором идет речь (например, x38 означает численность восприимчивых на 38-й день эпидемии). Введем далее два параметра: λ— средняя частота передачи инфекции (пропорциональна контагиозности инфекции и частоте контактов населения) и μ — суммарная вероятность устранения больного в течение одного дня (выздоровление и т. д.). В этих обозначениях модель КМК имеет следующий вид:

xt+1 = xt - λxtyt;

yt+1 = yt + λxtyt - μyt;

zt+1 = zt + μyt

Величина λxtyt представляет собой ежедневную заболеваемость, т. е. принято естественное допущение, что заболеваемость тем больше, чем больше xt (т. е. чем больше людей может заболеть) и чем больше yt - (т. е. чем больше источников инфекции). Следовательно, первое равенство модели читается следующим образом: численность восприимчивых утром следующего дня равна численности восприимчивых утра предыдущего дня минус заболеваемость за предыдущий день. Второе равенство: численность больных утром следующего дня равна численности больных утра предыдущего дня плюс заболеваемость за предыдущий день минус численность устраненных за предыдущий день. Аналогично читается третье уравнение.

Если применить к этим равенствам требования первого этапа моделирования (напомним, что требуется логическое соответствие с медико-биологическими представлениями), то сразу выявляется одно существенное несоответствие — постоянство параметра. Тот факт, что μ есть константа, означает, в частности, что для каждого больного вероятность выздоровления (или вероятность смерти) не зависит от того, сколько времени прошло с начала заболевания, а это неправильно для любой инфекции. Интерпретировать же μ, как некоторую среднюю величину можно лишь для стационарных процессов (т. е. когда заболеваемость не меняется с течением времени), тогда как эпидемиологов и организаторов здравоохранения в первую очередь интересуют процессы заведомо нестационарных эпидемий.

Этот недостаток (постоянство μ) присущ вообще почти всем моделям МТЭ, в том числе и стохастическим (в работе Хаммонда и Тайрелла он несколько смягчен). Правда, сами Кермак и Мак-Кендрик предлагали и более общую модель, где вероятность выздоровления зависит от предшествующей длительности заболевания; но эту модель в силу ее громоздкости пока никто не рассматривал.

Другой еще более серьезный недостаток (в плане логической адекватности медико-биологическим и эпидемиологическим представлениям) всех без исключения моделей МТЭ — это подход :(т. е. то, как они вообще ставят задачу). В данном случае все население разбивается на несколько категорий — здоровые и больные, иммунные и неиммунные и т. д после чего считается, что переход лица из одной категории в другую происходит скачком (иначе они считать и не могут, так как категорий конечное число). Тем самым полностью игнорируется тот факт, что инфекционное заболевание есть процесс (а не скачки людей из одного состояния в другое). Правда, с некоторой натяжкой можно принять, что заболевание происходит скачкообразно, но такие явления, как выздоровление или приобретение иммунитета заведомо представляют собой непрерывные процессы.


«1»  «2»  «3»  «4»  «5»  «6»  «7»  «8»  «9»  «10»  «11»  «12»  «13»  «14»  «15»  «16»  «17»  «18»  «19»  «20»  «21»  «22»  «23»  «24»  «25»  «26»  «27»  «28»  «29»  «30»  «31»  «32»  «33»  «34»  «35»  «36»  «37»  «38»  «39»  «40»  «41»  «42»  «43»  «44»  «45»  «46»  «47»  «48»  «49»  «50»  «51»  «52»  «53»  «54»  «55»  «56»  «57»  «58»  «59»  «60»  «61»  «62»  «63»  «64»  «65»  «66»  «67»  «68»  «69»  «70»  «71»  «72»  «73»  «74»  «75»  «76»  «77»  «78»  «79»  «80»  «81»  «82»  «83»  «84»  «85»  «86»  «87»  «88»  «89»  «90»  «91»  «92»  «93»  «94»  «95»  «96»  «97»  «98»  «99»  «100»  «101»  «102»  «103»  «104»  «105»  «106»  «107»  «108»  «109»  «110»  «111»  «112»  «113»  «114»  «115»  «116»  «117»  «118»  «119»  «120»  «121»  «122»  «123»  «124»  «125»  «126»  «127»  «128»  «129»  «130»  «131»  «132»  «133»  «134»  «135»  «136»  «137»  «138»  «139»  «140»  «141»  «142»  «143»  «144»  «145»  «146»  «147»  «148»  «149»  «150»  «151»  «152»  «153»  «154»  «155»  «156»  «157»  «158»  «159»  «160»  «161»  «162»  «163»  «164»  «165»  «166»  «167»  «168»  «169»  «170»  «171»  «172»  «173»  «174»  «175»  «176»  «177»  «178»  «179»  «180»  «181»  «182»  «183»  «184»  «185»  «186»  «187»  «188»  «189»  «190»  «191»  «192»  «193»  «194»  «195»  «196»  «197»  «198»  «199»  «200»  «201»  «202»  «203»  «204»  «205»  «206»  «207»  «208»  «209»  «210»  «211»  «212»  «213»  «214»  «215»  «216»  «217»  «218»  «219»  «220»  «221»  «222»  «223»  «224»  «225»  «226»  «227»  «228»  «229»  «230»  «231»  «232»  «233»  «234»  «235»  «236»  «237»  «238»  «239»  «240»  «241»  «242»  «243»  «244»  «245»  «246»  «247»  «248»  «249»  «250»  «251»  «252»  «253»  «254»  «255»  «256»  «257»  «258»  «259»  «260»  «261»  «262»  «263»  «264»  «265»  «266»  «267»  «268»  «269»  «270»  «271»  «272»  «273»  «274»  «275»  «276»  «277»  «278»  «279»  «280»  «281»  «282»  «283»  «284»  «285»  «286»  «287»  «288»  «289»  «290»  «291»  «292»  «293»  «294»  «295»  «296»  «297»  «298»  «299»  «300»  «301»  «302»  «303»  «304»  «305»  «306»  «307»  «308»  «309»  «310»  «311»  «312»  «313»  «314»  «315»  «316»  «317»  «318»  «319»  «320»  «321»  «322»  «323»  «324»  «325»  «326»  «327»  «328»  «329»  «330»  «331»  «332»  «333»  «334»  «335»  «336»  «337»  «338»  «339»  «340»  «341»  «342»  «343»  «344»  «345»  «346»  «347»  «348»  «349»  «350»  «351»  «352»  «353»  «354»  «355»  «356»  «357»  «358»  «359»  «360»  «361»  «362»  «363»  «364»  «365»  «366»  «367»  «368»  «369»  «370»  «371»  «372»  «373»  «374»  «375»